Програма з математики для вступників на основі базової загальної середньої освіти

Програма з математики для вступників складається з трьох розділів. Перший з них містить перелік основних математичних понять і фактів, якими повинен володіти вступник (вміти правильно їх використовувати при розв’язанні задач, посилатися на них при доведенні теорем). У другому розділі вказано теореми, формули та властивості, які треба вміти доводити. Зміст теоретичної частини іспитів формується з цього розділу. У третьому розділі перелічено основні математичні вміння і навички, якими має володіти вступник.
На іспиті з математики вступник до вищого навчального закладу повинен показати :
1)    чітке знання означень математичних понять, термінів, формулювань правил, ознак, теорем, передбачених програмою, вміння доводити їх;
2)    вміння точно і стисло висловити  математичну думку в усній і письмовій формі, використовувати відповідну символіку;
3)    впевнене володіння практичними математичними вміннями і навичками, передбаченими програмою, вміння застосовувати їх при розв’язанні задач і вправ.

Дана програма відповідає діючим  програмам з алгебри та геометрії для основної школи.

І. ОСНОВНІ МАТЕМАТИЧНІ ПОНЯТТЯ І ФАКТИ

Арифметика і алгебра

1. Натуральні числа і нуль. Основні правила додавання, віднімання, множення, ділення. Прості і складені числа. Дільник, кратне. Найбільший спільний дільник. Найменше спільне кратне. Ознаки подільності на 2, 3, 5,
9, 10. Система числення.
2. Цілі числа. Раціональні числа, їх додавання, віднімання, множення, ділення. Порівняння раціональних чисел.
3. Дійсні числа, їх запис у вигляді десяткового дробу. Читання, запис та дії з десятковими дробами. Скінченні і нескінченні періодичні і неперіодичні десяткові дроби.
4. Звичайні дроби. Порівняння звичайних дробів. Правильний і неправильний дріб. Ціла та дробова частина числа. Основна властивість дробу. Скорочення дробу. Середнє арифметичне і середнє геометричне чисел. Основні задачі на дроби.
5. Поняття про ірраціональні числа.
6. Зображення чисел на прямій.  Модуль числа, його геометричний зміст.
7. Числові вирази. Вирази із змінними. Тотожні перетворення раціональних, алгебраїчних виразів.
8. Поняття про пряму та обернену пропорційну залежності між величинами.
9. Вимірювання величин. Наближене значення числа. Округлення чисел. Абсолютна та відносна похибки наближеного значення числа. Виконання арифметичних дій над наближеними значеннями чисел.
10. Пропорції. Основна властивість пропорції. Розв’язування задач за допомогою пропорцій. Прості і складені  задачі.
11. Степінь з натуральним показником і його властивості. Степінь з цілим показником і його властивості. Стандартний вигляд числа. Перетворення виразів із степенями.
12. Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь. Властивості квадратних коренів. Наближене значення квадратного кореня.
13. Прямокутна система координат на площині. Координати точки (абсциса і ордината). Формула відстані між двома точками площини, заданих координатами. Координати середини відрізка.
14. Одночлен і многочлен. Дії над ними. Многочлен з однією змінною. Корінь многочленна (на прикладі квадратного тричлена). Степінь многочленна. Додавання, віднімання і множення многочленів. Розкладання многочлена на множники. 
15. Рівняння. Розв’язування рівнянь, корені рівняння. Рівносильні рівняння. Біквадратні рівняння. Графік рівняння з двома змінними.
16. Числові нерівності та їх властивості. По членне додавання та множення числових нерівностей. Лінійна нерівність з одним невідомим. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Розв’язування раціональних нерівностей, метод інтервалів.
17. Система рівнянь і система нерівностей (раціональні і тригонометричні). Розв’язування систем. Корені системи. Рівносильні системи рівнянь.
18. Арифметична  та геометрична  прогресії. Формули знаходження n – го члена та суми n перших членів прогресій. Нескінченно спадна геометрична прогресія та її сума.
19. Поняття функції. Способи задання функції. Область визначення, область значень функції. Перетворення графіків функцій.
20. Графік функції. Зростання і спадання функції; періодичність, парність, непарність функції. Графічне розв’язування рівнянь, нерівностей.
21. Означення і основні властивості функцій: лінійної у = kx + b, квадратичної у = аx2 + bх + с, степеневої у = хn   та їх графіки. 
Геометрія

1.Початкові поняття планіметрії (точка., пряма, промінь, відрізок, ламана; довжина відрізка). Геометричні фігури. Паралельні і перпендикулярні прямі. Поняття про аксіоми і теореми. Поняття про обернену теорему.
2. Кут, величина кута. Суміжні і вертикальні кути та їх властивості. Кути, утворені внаслідок перетину прямих, що перетинаються січною, а також при перетині паралельних прямих січною.
3. Трикутник. Медіана, бісектриса, висота трикутника, їх властивості. Чотири визначені точки трикутника. Види трикутників. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Теореми синусів, косинусів. Середня лінія трикутника. 
4. Коло і круг. Центр, діаметр, радіус, хорди, січні кола. Залежність між відрізками у колі. Дотична до кола. Дуга кола. Сектор, сегмент. Довжина кола і довжина дуги кола.
5. Центральні і вписані кути, їх властивості. Коло вписане у трикутник. Коло описане навколо трикутника. Величина кута та її властивості. Вимірювання вписаних кутів. Градусна і радіанна міра кута.
6. Геометричне місце точок. Метод ГМТ.
7. Поняття про рівність фігур. Ознаки рівності трикутників.
8. Поняття про подібність фігур. Ознаки подібності трикутників.
9. Прямокутна система координат на площині. Формула відстані між двома точками площини, заданих координатами;  координати середини відрізка. Графік і рівняння прямої і кола. Довжина відрізка та її властивості. Відстань від точки до прямої.
10. Вектор. Абсолютна величина і напрям вектора. Кут між векторами. Колінеарні вектори. Сума векторів та її властивості. Добуток вектора на число та його властивості. Розкладання вектора за осями координат і двома неколінеарними векторами. Координати вектора. Скалярний добуток векторів та його властивості. Проекція вектора на осі координат.
11. Чотирикутник, паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція; їх елементи і основні властивості.
12. Многокутник. Вершини, сторони, діагоналі многокутника. Правильні многокутника і їх побудова.
13. Поняття про площі, основні властивості  площ. Площа трикутника, паралелограма, прямокутника, квадрата, ромба, трапеції. Відношення площ подібних фігур. Площа круга та його частин.
14. Рух, його властивості. Види симетрій, поворот, паралельне перенесення.

ІІ. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ

Алгебра
1.    Формули коренів квадратного рівняння.
2.    Запис квадратного тричлена у вигляді добутку лінійних множників.
3.    Зведене квадратне рівняння. Теорема Вієта.
4.    Розв’язування систем двох лінійних рівнянь.
5.    Основна властивість дробу. Дії з дробами.
6.    Формули скороченого множення.
7.    Формули знаходження  n – го члена арифметичної прогресії та суми n перших членів арифметичної прогресії.
8.    Формули n – го члена геометричної прогресії та суми n перших членів геометричної прогресії.
9.    Квадратний корінь та його властивості.
10.    Степінь з натуральним показником та його властивості.
11.     Функція у = kx, її властивості і графік.
12.     Функція у =  , її властивості і графік.
13.    Функція у = kx + в, її властивості і графік.
14.    Функція у = x2, її властивості і графік.
15.     Середнє арифметичне і середнє геометричне чисел.
16.     Розв’язування лінійних рівнянь і таких, що зводяться до лінійних.
17.     Розв’язування лінійних нерівностей і систем лінійних нерівностей.
18.     Властивості числових нерівностей.

Геометрія

1.    Основна властивість і ознаки паралельності прямих.
2.    Теорема про суму кутів трикутника.
3.     Ознаки рівності трикутників.
4.    Ознаки подібності трикутників.
5.    Теорема про кут, вписаний в коло.
6.    Дотична до кола та її властивість.
7.    Теорема Піфагора та наслідки з неї.
8.    Значення синуса, косинуса кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
9.    Коло, вписане в трикутник. Радіус кола, вписаного в трикутник.
10.     Коло описане навколо трикутника. Радіус кола, описаного навколо трикутника.
11.     Формули площ трикутника, трапеції.
12.     Формула площі паралелограма.
13.     Вектор. Дії над векторами.
14.    Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.
15.     Властивості рівнобедреного трикутника.
16.     Властивості прямокутника, ромба, квадрата.
17.    Властивості паралелограма і його діагоналей.
18.     Відстань між двома точками площини.
19.     Теорема Фалеса.
20.     Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

ІІІ. ОСНОВНІ ВМІННЯ І НАВИЧКИ

Вступник повинен:
1.    Виконувати арифметичні дії над натуральними числами, десятковими і звичайними дробами; користуватися калькулятором і таблицями; визначати і користуватися масштабом.
2.    Уміти виконувати тотожні перетворення основних алгебраїчних виразів (многочленів, дробово-раціональних виразів, які містять степені і корені), тригонометричних виразів.
3.    Будувати і читати графіки лінійної, квадратичної, степеневої функцій.
4.    Розв’язувати рівняння і нерівності першого і другого степенів, а також рівняння і нерівності, що зводяться до них; розв’язувати системи рівнянь та нерівностей першого і другого степенів і ті, що зводяться до них.
5.    Розв’язувати задачі за допомогою рівнянь і систем рівнянь.
6.    зображати геометричні фігури на площині і виконувати найпростіші побудови на площині.
7.    Використовувати геометричні відомості при розв’язуванні алгебраїчних, а відомості з алгебри і тригонометрії – при розв’язуванні геометричних задач.
8.    Виконувати операції над векторами на площині  і використовувати їх при розв’язуванні практичних задач і вправ.
9.    Володіти навичками вимірювання і обчислення довжин, кутів і площ, які використовуються для розв’язання практичних задач.
10.     Уміти застосовувати властивості геометричних фігур при розв’язуванні задач на обчислення та доведення.